例谈中学数学概念教学的过程性

概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。长期以来，由于受应试教育的影响，不少教师在教学中重解题、轻概念，尤其忽视对核心概念的教学。由于数学概念是反映空间形式和数量关系的本质属性，数学概念具有高度的抽象性、概括性、系统性等特点。所以数学概念不是学生通过简单的记诵、记忆就能形成的，它需要借助于学生自己主动的思维思考、积极的建构才能产生成型。理解数学概念就意味着去建立概念的系统，确定概念之间的依存关系，这就要求在数学概念的教学中，教师应充分展现其形成过程。

一、揭示概念的形成过程

波利亚曾经说过：“概念是人脑的高级产物。”这也就是说，概念是认识的高级产物，它是在感觉、知觉和观念诸过程综合的基础上产生的，运用比较、分析、综合、抽象和概括等一系列的逻辑方法来获取概念，它已经抓住了客观对象的本质属性。因此数学中每个重要概念的产生历经了前人长期观察、比较、分析、抽象、概括、创造等漫长过程，其形成过程蕴含着数学的思想方法、数学创造方法，展现数学概念形成过程的教学可使学生领悟形成概念的方法，锻炼思维品质，激发学习兴趣，增强内在活力。

根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三个阶段：①引入概念，使学生感知概念，形成表象；②通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；③通过例题、习题使学生巩固和应用概念。细致说来，概念的形成可分为以下几个心理活动阶段，现以函数概念为例进行阐述。

1.观察实例。学生观察下列事例中，指出变量与变量的关系。

①以40米/小时速度行驶的汽车，行驶的路程s与时间t。

②用图表给出的某水库的存水量Q与水深h。

③某一天气温F与时刻t。

④某一次考试的班级学生成绩m与学号n。

⑤一个数y是另一个x的平方。

2.分析共同属性。分析各实例的属性，并综合出共同属性。如上例中各实例的共同属性有：①抽象地看成两变量间关系②一个变量随另一个变量变化而变化③一个变量每取定一个值，另一个变量有唯一确定的值与它对应。

3.抽象出本质属性。经过猜想、假设等过程，最后得到一个变量，每确定一个值，另一个变量也唯一确定一个值与之对应，这是本质属性。

4.比较正反实例，确认本质属性。如例④中反过来n未必是m的函数；例⑤中开平方x=+也不是函数，强化本质属性，排除非本质属性。

5.概括出概念含义，把抽象出的本质属性推广到同类事物，给出名称。这时还需要进一步区分各种本质属性的从属关系，找出关键的本质属性下定义。

6.形式化。用习惯的形式符号表示，这是数学抽象的特征，是数学简洁，通用发展的原因之一。如这里给出函数符号f(x)，注意符号语言的意义、应用。

7.具体应用概念。从具体到抽象，再回到具体的运用，在运用中自觉的把概念纳入相应体系。以学生的直接经验为基础，在教师指导下发现概念的本质属性，对学生的心理水平要求不高，但比较费时，适用于刺激强度大，具有典型性、新颖性的实例。

在提示概念形成的过程中，要特别注意数学的直观性、直觉发展和学生心理可接受性、适应性和最佳发展区。

二、揭示概念的同化过程

数学概念同化的学习过程一般是指直接揭示数学概念的本质属性，通过对数学概念的分类和比较，建立与原有任知结构中的有关数学概念联系，明确新的数学概念的内涵和外延，再通过实例的辨认，将新数学概念与原有认知结构中的某数学概念区别，将新的数学概念纳入相应的数学概念系统中，从而完善原有的认知结构。现以“一元二次方程”概念教学为例，提示其同化过程。

1．观察概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。例如学习“一元二次方程”这个概念，首先观察它的定义——含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其本质属性有：含有一个未知数，未知数最高次数为二次，是整式方程。

2.对概念进行分类，讨论各种特殊情况，进一步突出概念的本质属性。例如：可讨论：“一元二次方程”各种特例：

简化的一元二次方程x2+px+q=0；不完全的一元二次方程ax2+c=0(a≠0)；ax2+bx=0(a≠0)；ax2=0(a≠0)。

3.把新概念系统化，把新概念同化到原认知结构中去。如上例，学生把一元二次方程同化到原有关于方程的认知结构之中，区分一元二次方程与方程，一元一次方程，分式方程，整式方程等概念，并形成一个关于方程概念的系统。

4.辩证、比较正反实例，确认新概念的本质属性，使新概念与原有关概念精确化。如让学生辩认x2-5x+6=0,4y2=5,3x2=18,x2+6x+7=0,ay2+7y-9=0等，并比较正反实例。

概念同化的学习过程，以学生间接经验为基础，要求学生具备较丰富的知识经验，并具有积极思维能力和较高的心理活动水平，但比较省时。

三、重视概念的建构过程

数学概念的掌握不只是简单地记住文本定义，而是要形成与概念直接联系的“整体性”的认知结构，包括相应的心智图像、对概念性质的辨认、对直观操作过程的识记、相应的范例再现等。这些就是被称之为数学概念的心理表征。因此，无论是概念的形成还是概念的同化，数学概念的建构实质上就是让学生形成一个关于数学概念本身的、丰富多样的心理表征。现以“直线的倾斜角与斜率”一节教学为例。

1．阐述实际意义，建立概念。黑板上画两个边长差别很大的正方形，请学生用一三角板画出它们的对角线（其中一个正方形的对角线长度小于三角板的边长，另一个正方形的对角线长度大于三角板的边长），小正方形的对角线容易画出，但大正方形的对角线却使 学生陷入困境，让学生自己去选择方法和探索认证，思考画直线的理论依据除两点确定一条直线外，还有由点与方向确定一定直线，这样便自然产生了“直线的倾斜角”的概念，进而反思，讨论用角和数进行运算的不便后，建立起斜率的概念

2.揭示本质，理解概念。引进斜率概念后，针对关键词进行分析，学生思考之余提出：“讨论绕点（2，3）按逆时针方向旋转一周的直线斜率变化情况如何？通过画图，利用运动的观点解决问题，从而进一步认识了倾斜角和斜率的概念的联系与区别及它们取值范围和变化趋势，通过建构活动，同化或顺应于学生的认知结构。

3.深入分析比较，深化概念。斜率和倾斜角纳入原有认知结构后，提出问题：过点P(1,1),Q(2,3)的直线的倾斜角与斜率各是多少？鼓励学生探索、创造建立两个新的“解析成果”与最基本“解析成果”――点的坐标的关系，讨论、概括学生的思路，画出如下关系图：

直线上两点坐标——————直线斜率

正切值的坐标表示——————直线倾斜角

如此则形成了斜率坐标公式的推导思路，通过重建充实了原认识结构。

4.加强应用，巩固概念。选择典型的循序渐进的题组进行巩固，建立起相应的应用模式。如：

①直线过点（1，4），（3+1，1）其倾斜角和斜率各是多少？

②已知直线过点P（3，4），Q（-2-m,-m+5）,当m为何值时，直线与x轴平行？当m为何值时，直线与y轴平行？当m为何值时，其倾斜角为3π/4？

③已知点M（-4,7),N(2,15)若直线1倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，则1的斜率为多少？

这样学生在问题激发下主动建构，从形成概念、掌握本质，直至融概念于原认知结构中，建立起新的认知结构，相对独立地完成数学建构活动，达到概念理解深刻、全面。

四、组织概念的系统化、整体化的过程。

数学中许多概念的理解和掌握不是一次可以完成的，教师应有计划地使学生不断丰富和加深理解，可以通过单元复习、阶段复习，甚至是垮学年总结的方式使所学的有关概念系统化和整体化。

例如关于“角”的概念的整体化与系统化：

⑴平面角：①一点出发的两条射线所组成的图形（静态定义）②以一条射线的端点为顶点旋转所形成的图形，逆时针旋转为正角，顺时针为负角，不作旋转为零角。

⑵异面直线所成的角：在空间任意取一点，分别引两条异面直线的平行线所成的锐角或直角，叫做两条异面直线的所成的角。

⑶直线与平面所成的角。若直线在平面内或与平面平行，则所成角为00；若直线与平面垂直，则所成的角为900；平面内一条斜线和它在平面内射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角。

⑷二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫二面角的平面角。

要对角的概念形成一个良好的认知结构，还需要进一步抽象与概括出都是在“平面角”基础上发展与推广；反之，空间角又都是转化为“平面角”来表示。这样建立起稳固的认知结构、数学思想方法和解题模式。

再如从点与点、点与面、点与线、线与线（包括平行、异面）线与面、面与面的六种距离中，概括出整体的属性——最短性。从绝对值到复数的模，再到范数、测度，才能整体上把握绝对值符号概念。函数的概念在初中不可能深刻理解，通过高中学习，才能很好的掌握和运用，形成函数思想，有的直至大学才形成函数观点和用函数的意识。

在教学过程中还应注意大概念与小概念的关系，例如函数利用它具有不同的特征，可以分成单调递增函数、单调递减函数，奇函数、偶函数，有界函数，周期函数。周期函数还可以分成有最小正周期和没有最小正周其函数。而函数的奇偶性还有既是奇函数又是偶函数的函数。

数学概念系统是一种多层次的复杂结构。因此，理解和掌握数学概念应循序渐进，由简单到复杂、具体到抽象、低级到高级的认识顺序。一个新概念的建立要依靠哪些旧概念，这个概念在教材中是怎样发展的，将要如何发展下去，这个概念的理解分为几个层次……教师要清楚地了解这些问题，以便把握它在各个教学阶段的深度与广度。

学生获得数学概念，一方面依赖于已有的知识基础，另一方面也依赖于一定的数学思维能力，特别是分析综合、抽象概括、分类比较、形式化、具体化等方面的能力。因此，数学概念的教学一方面使学生认识概念的由来和发展，掌握概念的内涵、外延及其表达形式，和谐统一地认识概念所包括的名称（符号）、定义、例子四个方面。了解概念之间的关系，会对概念进行分类，从而形成一定的概念体系，会正确运用概念。另一方面学生获得数学概念的思维活动过程是主动建构过程。所以数学概念的教学应充分展现其过程性，在过程教学中，学生历经了知识的发生、发展的过程；重视前人的创造过程；历经归纳、假设、猜想、验证历程；体验了数学的观察、分析、综合、类比、演绎归纳、抽象概括等数学思想方法，使学生积极参与获得概念的智力和非智力活动，培养学生的数学能力，提高学生的数学素质，是教学的良好素材与契机。

总之，在概念教学中要根据新课标对概念的具体要求，要创造性的使用教材，优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，以达到认识数学思想和数学概念本质的目的。

（浙江建德严州中学梅城校区  洪东潮）