怎样寻找三角形全等的条件

                           文／周咏梅

同学们，我们已经知道判别两个三角形全等的方法有：“SSS”，“SAS”，“ASA”和“AAS”．从三角形的边、角中寻找三角形全等的条件是判断全等的难点，怎样寻找条件呢？下面介绍几种寻找全等三角形条件的常用方法，以帮助同学们提高解题速度．

一、利用公共边或公共角相等

例1  如图1，AD//BC且AD=BC，试问△ACD与△CAB全等吗？为什么？

分析：通过AD//BC，可得出∠DAC=∠BCA，两个三角形有一边一角对应相等了，再加上公共边AC=CA，就可证出两个三角形全等．

解：因为AD//BC

所以∠DAC=∠BCA．

在△ACD和△CAB中 

∴△ACD≌△CAB（SAS）

二、利用对顶角相等

例2：要测出一池塘两端A、B的距离，如图3，设计如下方案：先在平地上取一点可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC，连接BC并延长到E，使CE=BC，最后测出DE的长即为A、B之间的距离，为什么？

分析：已知两边对应相等，再找夹角．根据对顶角相等，用SAS公理即可证明两个三角形全等．

解：在△ABC和△DEC中

∴△ABC≌△DEC（SAS）

∴AB=DE（全等三角形的对应边相等）

三、利用等边或等角加、减等边或等角，其和、差相等  

例3如图3，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.

求证： △ABC≌△AED.

分析：要证△ABC≌△AED，由已知条件可知缺一对角相等，根据∠BAD＝∠EAC，可得到∠BAC=∠EAD，因此可证得两个三角形全等.

证明：∵∠BAD=∠EAC

      ∴∠BAC=∠EAD

      在∆ABC和∆AED中

      AB=AE

      ∠BAC=∠EAD

      AC=AD

    ∴∆ABC≌∆AED(SAS)

四、利用同位角或内错角相等

例4 如图4，已知点在线段上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．

求证：．

分析：由AB∥DE，可得到∠B=∠DEF，再根据BE=CF，得到BC=EF，因此可得出两个三角形全等.

证明：．

．

（ASA）.

五、利用等角的补角相等

 例5如图5，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2.

     求证：AB=AD.

分析：由∠1=∠2，可得出∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，再结合角平分线得到∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ，因此得到两个三角形全等.

证明：∵AC平分∠BAD，

　∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．

　∵∠1=∠2，

∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．

在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中

∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＡＡＳ）．

∴ＡＢ＝ＡＤ．

六、利用垂直得到角相等

例6（2009年北京市）已知：如图6，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .

求证：AB=FC.

分析：题中有两个垂直的条件，若要证明AB=FC，需要证明这两条边所在的三角形全等，但是已知条件中缺一对角相等，可用题目中的垂直条件做桥梁，进行得到两个三角形全等.

  证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB=90°，

        ∴∠FEC=∠ACB=90°

        ∴∠F+∠ECF=90°

      又∵CD⊥AB于点D,

        ∴∠A+∠ECF=90°

        ∴∠A=∠F

     在∆ABC和∆FCE中

         ∠A=∠F

         ∠ACB=∠FEC

         BC=CE

       ∴∆ABC≌∆FCE

       ∴AB=FC

（作者单位：江苏省盐城市台南中学）