浅谈因式分解

文/子成文

因式分解是中学数学课程的一个重要的恒等变形问题，不仅在通分、约分时要直接用到它，而且在解方程以及三角式的变形，甚至在学习高等数学时，也起到十分重要的作用，因此，在实际教学中应给予足够的重视。

因式分解指的是把一个多项式表示成几个既约因式的乘积，它是整数中素因数分解的推广与发展。它们不仅有关类似的概念，在整除性质和论证的理论方面也是平行的。

学习因式分解，主要讨论两个基本问题。一是怎样判断一个多项式是否可约。二是如果一个多项式是可约的，究竟如何去分解。

现在来回答第一个问题。

在复数范围内，只有一次式是既约的，任何次数大于1的多项式，都可以分解成一次因式的乘积。

在实数范围内，次数≥3的多项式总是可约的，即在实数范围内，除一次式是既约的以外，可能有的二次式也是既约的。

在有理数范围内，情况比较复杂，除一次式是既约的以外，次数高于1的多项式都可能是既约的。有一些判定多项式是否可约的定理，例如有一个称为艾森斯因既性判定法，如下所述：

设f(x)是一个整系数多面式，若它的首项系数以外的所有各项系数都能被某一数P整除，且常数项可被P整除，便不能被P2整除，则f(x)在有理数范围内是既约的。

关于第二个问题，有一个重要的定理：

任何一个次数≥1的多项式，都可以分解为有限个既约多项式的乘积；且这种分解式除去因式的次序及常数因式外是唯一的。

这个定理常称为分解唯一性定理，遗憾的是这个重要定理并没有告诉我们怎样去对一个多项式进行因式分解，仅给出了分解的可能性。然而也并非在任何数域内都成立。

那么第二个问题有没有一个确定的方法，经过有限次的算述运算，把一个多项式分解为既约因式的乘积呢？在复数和实数范围内是否定的。在有理数范围内是肯定的。就是下面的克伦奈克的定理。

任何一个次数≥1的有理系数多项式，总可以经过有限次算术运算把它分解为有理系数既约多项式的积。

在中学数学课本里，关于第二个问题，给出了几种常用的方法，需要对不同的多项式运用不同的方法。

首先是提取公因式法。这个方法的理论根据是分配性质的应用，在运用这种方法时，要对所要分解的多项式进行观察分析，找出公因式运用此法的关键。其次是运用公式法。常用的几个公式包括二次的和三次的。教师在讲解公式时，指出公式的结构特点。对于初学者来说，一个多项式符合某一公式的形式，不是很容易看得出来的。在一段时间里要注重这方面的训练，培养他们观察与分析诸多多项式的能力，加强对学生启发诱导，渗透数学的转化的思想，了解换之的思想方法。提取公因与运用公式法是最基本的方法，也是最重要的方法。

如果所给多项式，不便于直接运用上述两种基本方法，那么，就考虑运用分组分解法。在教学中要善于启发学生观察、分析多项式，发现多项式的结构特点，充分利用两种基本方法，确定分组方法。由于多项式形式复杂多样，适当选择几种类型分组方法的题目，提高学生分析和解决问题的能力是必要的。

十字相乘法是关于二次三项式的分解方法。教师在讲解此种方法时，应该重在理解，引导学生深入观察、分析等号左右两端结构，发现已知数之间的内在联系，进而归纳出十字图解的形式。为了直观可以如下表示：

把观察到的关于已知数之间的结构特性归结为十字图的简洁形式，即便于记忆，又便于运用。地址：云南省永胜县大安中学