“代换”在相似三角形中的应用

2013-09-25 09:19 文／胡春雁科技信息报今日文教周刊2013年9月23日B3版

       在学习相似三角形时，同学们常会遇到证明乘积式或比例式。这类问题一般是通过三角形相似来解决。但有些题目，找不到相似三角形，需通过换线段或比例式来“架桥”，以达到目的，下面略举几例加以说明：
     例1.已知：平行四边形ABCD，过A的一条直线分别交BD、CD、BC的延长线于M、N、P，求证：A㎡ =MN·MP
     分析：先把乘积式改为比例式，无法找到相似三角形，利用题目中的平行四边形这一条件，可以得到几个相似三角形，把AM/MN和MP/AM联系起来了。其中“BM/DM”起到桥梁的作用。
      略解：∵AB∥DN   ∴△ABM∽△NDM
      ∴AM/MN=BM/DM    ∵AD∥BP       ∴△ADM∽△PBM
      ∴BM/DM  =MP/AM    ∴AM/MN=MP/AM    即A㎡ =MN·MP
      例2.如图，△ABC中，AB=AC，E是中线AD上一点，过C作CG∥AB，BE的延长线交AC于E，交CG于G，求证：BE²=EF·EG
     分析：要证结论成立，须证EF/BE=BE/EC要架桥用“EC”来换“BE”，进而构造相似三角形。
     解：连接EC
      ∵AB=AC，E是中线AD上一点
     ∴BE=EC
     ∴∠ABC=∠ACB, ∠EBC=∠ECB
      ∴∠ABE=∠ACE
      ∵AB∥CG   ∴∠ABE=∠G
      ∴∠ACE=∠G    ∵∠FEC=∠CEG
      ∴△ECF∽△EGC
      ∴EF/EC=EC/EG∴ EF/BE=BE/EG    即BE² =EF·EG
      下面两题供同学们练习：
    已知：如图1，平行四边形ABCD，过A的一条直线分别交BD、CD、BC的延长线于M、N、P，MN=1，NP=2；求AM的长。
     如图3.在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的各顶点在△ABC的边上，
      求证：DE²=AD·BE
                                                           （作者单位：湖北省老河口市仙人渡中学）

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