汉诺塔问题的算法分析及C++实现

2010-06-24 16:05 孙小慧今日文教6月21日十五版

汉诺塔问题的算法分析及C++实现

江苏灌南县孙小慧

摘要：该文对经典的汉诺塔问题进行了详细的分析，给出了递归的和非递归的算法，并用c++语言对这两种算法进行了实现与比较。

关键字：　汉诺塔，递归算法，非递归算法

Algorithm Analysis and C++ Realization of Hanio Issue

Sun Xiaohui

Abstract: This text carries on detailed analysis about classical Hanio issue ,then describe it with both Recursive algorithm and Non-recursive algorithm, provides realization of algorithm in C++.

Keywords：Tower of hanoi，Recursive algorithm，Non-recursive algorithm

一、问题描述

问题提出：

设有三个塔柱（分别为A号，B号和C号）。初始时，有n 个圆盘按自下向上、从大到小的次序叠置在A 塔上。现要将A 塔上的所有圆盘，借助于B塔，全部移动到C塔上，且仍按照原来的次序叠置。移动的规则如下：这些圆形盘只能在个塔间进行移动，一次只能移动一个盘子，且任何时候都不允许将较大的盘子压在比它小的盘子的上面。要求如下：从键盘输入初始圆形盘子个数n，用C 语言实现n 个盘子最佳移动的全过程[1]。

本题的目的是设计一个盘子移动的方案，使得A 号塔上的所有盘子借助于B塔按照原来的次序移动到C塔上，并且，要给出完整的盘子移动的方案。下面我们从递归和非递归两种方面进行考虑[2]。

二、递归解法及其C++实现

我们先来考虑下递归求解这个问题的情况：

假设共有n个盘子，无论n是多少，也不管怎么去移动盘子（当然是按规则来移动），但在移动的过程中，将始终会出现这样的状态情况：（n－1）个盘子将会以自下向上、从大到小的次序叠置在B 塔上，这时，A塔上第n 个盘子就能被轻而易举地叠放到C 塔上；接着，再把B 塔上的共（n－1）个盘子移动到C 塔上，问题好像已经解决。但，B 塔上（n－1）个盘子怎么移动到C 塔上呢芽这是要解决的第二个问题。同样，不管我们怎么移动，也将会出现这样的状态情况：（n－2）个盘子将会以从上到下、从大到小的次序叠置在A 塔上，这时，B 塔上第（n－1）个盘子就能被轻而易举放到C 塔上；接着，把A 塔上的共（n－2）个盘子移动到C 塔上。这样，不断深入，不断细小化，最终，将到达仅有一个盘的情形，这时，递归也就终止了，问题也得到了解决。通过以上分析，这里有很明显的递归关系。

由此，可以给出汉诺塔问题的递归算法如下：

1. 当仅有1个盘子时，把这个盘子从A塔柱移动到C塔柱上

2. 当圆盘的个数多于1个时，如下解决：

（1）先将A塔柱上的（n-1）个圆盘通过C塔柱移动到B塔柱上

（2）再将A塔柱上的第n个圆盘直接移动到C塔柱上

（3）最后B塔柱上的（n-1）个圆盘通过A塔柱移动到C塔柱上

该算法对应的代码如下：

void hanoi(int n,char a,char b,char c)

{

if(n==1){

cout<<a<<"->"<<c<<endl;

}

else {

hanoi(n-1,a,c,b);

cout<<a<<"->"<<c<<endl;

hanoi(n-1,b,a,c);

}

三、非递归解法及其C++实现

首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上。

根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C；

（1）若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B。

按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。

（2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。

即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘
这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。

（3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动[3]。

C++代码如下：

const int MAX = 64; //圆盘的个数最多为64

struct st{ //用来表示每根柱子的信息

int s[MAX]; //柱子上的圆盘存储情况

int top; //栈顶，用来最上面的圆盘

char name; //柱子的名字，可以是A，B，C中的一个

int Top(){//取栈顶元素

return s[top];

}

int Pop(){//出栈

return s[top--];

}

void Push(int x){//入栈

s[++top] = x;

}

} ;

long Pow(int x, int y); //计算x^y
void Creat(st ta[], int n); //给结构数组设置初值
void Hannuota(st ta[], long max); //移动汉诺塔的主要函数

int main(void)
{

      int n;
      cin >> n; //输入圆盘的个数
      st ta[3]; //三根柱子的信息用结构数组存储
      Creat(ta, n); //给结构数组设置初值

long max = Pow(2, n) - 1;//动的次数应等于2^n - 1
Hannuota(ta, max);//移动汉诺塔的主要函数

system("pause");
return 0;
}

void Creat(st ta[], int n)
{

ta[0].name = 'A';

ta[0].top = n-1;

for (int i=0;i<n;i++)//把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上

            ta[0].s[i] = n - i;
      ta[1].top = ta[2].top = 0;//柱子B，C上开始没有没有圆盘
      for (int i=0; i<n; i++)

ta[1].s[i] = ta[2].s[i] = 0;

      if (n%2 == 0) //若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C
      {
            ta[1].name = 'B';
            ta[2].name = 'C';
      }
      else  //若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B
      {
            ta[1].name = 'C';
            ta[2].name = 'B';
      }
}

long Pow(int x, int y)
{
      long sum = 1;
      for (int i=0; i<y; i++)
            sum *= x;

return sum;
}

void Hannuota(st ta[], long max)
{
      int k = 0; //累计移动的次数
      int i = 0;
      int ch;
      while (k < max)
      {
            //按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子
            ch = ta[i%3].Pop();
            ta[(i+1)%3].Push(ch);
            cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[i%3].name << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl;
            i++;
            //把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上
            if (k < max)
            {//把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都为空时，移动较小的圆盘
                  if (ta[(i+1)%3].Top() == 0 || ta[(i-1)%3].Top() > 0 && ta[(i+1)%3].Top() > ta[(i-1)%3].Top())
                  {
                        ch =  ta[(i-1)%3].Pop();
                        ta[(i+1)%3].Push(ch);
                        cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[(i-1)%3].name << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl;
                  }
                  else
                  {
                        ch =  ta[(i+1)%3].Pop();
                        ta[(i-1)%3].Push(ch);
                        cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[(i+1)%3].name << " to " << ta[(i-1)%3].name << endl;
                  }
            }
      }
}

四、比较与总结

汉诺塔问题是经典的递归算法例子。本文给出了递归和非递归两种解决汉诺塔问题的算法。递归的汉诺塔问题解法优点是逻辑清晰，易于理解，可读性好，算法语句少，也有助于理解递归的思想，但需要大量的栈空间，运行效率不高。如果用非递归方法解决汉诺塔问题的算法，优点是仅用少量的存储空间克服了递归算法的不足，兼顾了时间与空间的效率，缺点是理解起来可能比较困难，可读性也不是很好，在实际中，可根据需要选择一种进行解决。

参考文献

[1] 王春森．程序员教程[M]．北京：清华大学出版社，2001-05．

[2] 周敏. 汉诺塔问题的算法分析及C语言实现[j].电脑学习，2009年10月

[3] 谈祥柏著.数学营养菜[M]. 中国少年儿童出版社,2004-5-1