数学概念的逻辑性与严谨性

                    山西省翼城县汇丰学校 刘玉红

     概念是思维的细胞，是反映事物本质属性的思维形式，在思维过程中，人们依靠概念构成判断并形成推理，概念的语言形式是语词。概念是语词的思想内容，故语词与概念既有区别又有联系。由于语词与概念有密切的联系，许多语词方面的问题，同时也就是概念方面的问题。例如，语词应用的混乱，就同时也是概念的混乱，定义一个语词，就同时也是定义一个概念。因此，形式逻辑要求概念的明确与准确，同时也就是要求我们明确与准确地应用语词。
针对在一份学生模拟考题及答案中，我们在反复研读了它的全部内容后。认为此题目的文字语言出现了明显的逻辑错误，应该在加以纠正。
     下面我们不妨先来看看题目的整个内容：“有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?长度为13Cm的木棒呢? 
     解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出砚了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆咸三角形。取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。”
我们认为以上文字“出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形”及“出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形”，显而易见有逻辑性错误，理由如下:
     首先我们看看三角形是如何定义的。教材写道：“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，三角形有三条边，三个内角和三个顶点……”这段文字告诉我们只有构成了三角形后的三条线段才能称为“边”。上述论据充分证实了我们的观点是正确的。而“出现了两边之和小于第三边的情况...”和“出现了两边之和等于第三边的情况……”这两段话中的“边”字是完全错误的。既然称之为“边”就意味着它已经是三角形中的元素了，怎么又说“摆不成三角形”?岂不是自相矛盾吗?我们认为此处的叙述应改为“出现了两条线段之和小于第三条线段情况，所以它们摆不成三角形”才对。因为构不成三角形的线段只能仍称其为线段。这里的“线段”和“边”这两个概念间的关系为上属关系而不是全同关系。
     在《形式逻辑》一书中关于概念间的关系一节里，他对“全同关系”是这样说的：“如果所有的a都是b，同时，所有的b都是a，那么a与b就有全同关系，或者说a全同于b，或者说，a与b是全同的，……两个概念如果有全同关系，那么这两个概念的外延就是同一的”，显然“线段”与“边”这两个概念不是全同关系。因为它们的外延不同。即“线段”不等于“边”。
为什么说“线段”与“边”这两个概念的关系是上属关系呢？还是看这本书上是如何说的。书中写到，如果所有b都是a，但是，有的a不是b，那么a与b就有上属关系；或者说，a上属于b。因为所有的边都是线段，而有的线段都不是边。所以“线段”与“边”有上属关系。即是说“线段”的外延大于“边”的外延。
     数学是一门逻辑性很强的科学，数学教材历来也非常注重其内容的严谨性，这些都是由于数学自身的特点而决定的，我们应当尊重科学，维护其严密性、准确性，尤其是教科书更应遵守这条原则，以兔造成严重危害。