新课标下数学教学新尝试
浙江杭州启正中学 金丽敏
《初中数学课程标准》明确指出：“基本点是促进学生全面、持续、和谐地发展。为了能更好适应新课标的要求，让在遇到困难时，更多会想到去依赖老师而不是自己独立想办法解决。但是我们现在培养的这一代学生他们今后要面临的环境充满了更多的竞争和压力，所以他们更需要有自己独立的思维能力而不仅仅是知识。因此在教学过程中，教师更多得要关注培养学生的能力。
练习：一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首要解决的问题是水面？
对于此题，教师关注：
（1） 学生能否独立建立数学模型；
（2） 学生能否独立找到两个变量之间的关系；
（3） 由已给抛物线图象如何求解析式；
（4） 如果题中不给图象，关注学生抛物线模型的建立情况。
这时有些反应较快的学生马上想到了要用待定系数法，先设解析式的类型，不过到底该选哪种类型：顶点式、；两点式还是一般式？需要根据图象所给信息，点的类型来决定或是图象在坐标轴中的位置。“先要建立平面直角坐标系”，有同学兴奋的喊了出来。
生1：我是以A点为坐标原点，以AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系。这样建立平面直角坐标系后，因为图象过原点，所以我可以设函数的解析式为：
。接下来，我只要代入两个点的坐标就可以把这个解析式算出来了。我选择了B（12,0）,C(6,4),最后解得
。
师：解题思路很清楚，过程也很完整。教师肯定了第一位同学的方案。
还没等老师讲完，生2已经迫不及待得要站起来了。
生2：老师，我也是这样建立平面直角坐标系的，但是我觉得这时候我们用顶点式来解决比较方便。因为这时的C(6,4)就是这个二次函数的顶点坐标，生意我可以设为：
，这样我只要代一个点进去算就可以了。我选择了A（0，0），很快可以算出
，所以解析式为：
。
师：我请大家来评评看，哪种方法更好？
生：学生异口同声，选择了生2的方法，因为它的计算量较小，更快捷。
小结：从这两位同学的方法，我们要体会到，选择适当的解析式类型，对于提高我们的解题速度和准确率都是有很大的帮助的。
师：还有其他方法吗？
生3：老师，我把原点放在了B点，也以AB所在直线为x轴，过点B且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系。我做出来的和前面同学差不多，只是顶点坐标稍有不同，我的顶点坐标为（-6，4）。
师：这位同学的这种做法对吗？我们一起来检查一下。
经过全班同学的一起分析，最后一致认定，生3的方法也是可以的。只是和前面的两个同学的思路是差不多的，因为点A和点B在图象上的位置对解题起的作用是差不多的。
师：那还有不一样的思路吗？
生4：我以AB的中点O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系。我觉得这样建立的好处是，我既可以用两点式来解决这个题目，因为这时候A（-6，0），B（6，0），可以设为：
然后把点C（0，4）代入。或者我也可以选择用顶点式，但我这时候的顶点式比前面同学都有简单，因为这时候对称轴为Y轴，所以可以设为
，再代入点B算出a.
生4说完，得到了同学们热烈的掌声。教师也就不必要再多说些什么了，只是会心的一笑。
这时，生5想举手，但是又显得有些犹豫。教师点名鼓励起站起来说出自己的想法。
生5：我还没算好，但是经刚才生4的提醒，我想把坐标原点就建立在拱桥的顶点处。
同学们在下面也一致赞同，说这样最好，因为这时候是最简单的二次函数类型，
师：行，这个方法果然不错，不过要具体解决这个方案，那还差一个点，选A、B、C谁呢？建议大家把这几个点的坐标写出来。
在同学们写的过程中，教师整个班级巡视了一圈，有些同学这时候在点A、B的表示上出现了些问题，有把B（6，4）A（-6，4）这时最常见的一类错误。
师：请大家再仔细检查一下，你表示的点的坐标是否符合你自己建立的平面直角坐标系。B点在第几象限，坐标什么特点？
经这一提醒，大多数错的同学都改正了过来。
小结：最后的方法形式上是最简单，但是在点的表示上也最容易出错。因为在坐标和线段长度之间，这时候需要有一个转化的过程。
总结：解决这个题目，我们找到了不一样的好几种方案，请大家自己观察一下，如果需要你自己建立平面直角坐标系，如何建立会使题目较为简单。
经大家一致认可，把坐标原点建在顶点是最简单的，因其形式简单，计算快，量小。
在有了基本思路之后，教师也并没有急着告诉学生，如何建立平面直角坐标系是解决这类题目最简单的类型。而是通过让学生自己讲解，同学推评，一次接一次的剥离，最后显示出解决此类题的最简易的模型。让学生在层层递进中，切实体验每种类型的优缺点，最后得出大家一致认可的答案。这样比老师直接灌输，学生的自我感受会更深一些，理解也会更透彻一些。
