应重视学生证明命题能力的培养

应重视学生证明命题能力的培养

广东省五华县桥江中学  宋仁尚

数学学科是基础学科之一，要求学生应掌握这一学科的全面知识。这里就如何提高学生证明命题能力，谈几点粗浅认识。

一、命题证明是数学基础知识中的难点。

九年义务教育课程标准实验教科书——初中数学教材，知识点、难点不少。命题证明就是其中一个难点。在教材中，《证明一》、《证明二》、《证明三》里，从若干条公理及有关定义出发，证明了平行线、三角形及四边形等图形的一些命题。作为初中学生来说，初步接触了在合理化的体系中的命题证明。也初步接触了严格证明和相关的符号化表达。因为是初中学生，逻辑思维水平较薄弱，推理能力也相应较低，学习命题的证明也显得有相当的难度。因此，教师不能忽视这一知识点，而应重视学生证明命题能力的培养。笔者根据多年的教学实践，认为可以从如下几方面入手。

二、培养学生证明命题能力的举措。

1、正确选择证明依据，确保命题证明的真实性。证明命题，依据什么证明命题，那些可以作为证明的依据，必须弄明白。教师应根据教材内容，让学生在具体的情况中明确命题的证明依据，只能是有关的定义，所规定的公理及已经证明过的定理。      

1：求证：有两个相等的三角形是等腰三角形。             

这个命题是教材里《证明二》中的内容。转化为             

图形和数学语言表述如下：

已知：如图1，在△ABC中，∠A=∠C。             

      求证：AB=AC。                            

教学时，教师可让学生回顾命题“等腰三角形

的两底角相等”的证明思路：把△ABC转化为两个

全等三角形和转化的方法与证明的依据。并让学生思考“依据什么证明这个命题？”让学生思考后就可能会出现：

第一，依据“ASS”证明：作△ABC的中线AD，证明：△ABD≌△ACD（AAS），得AB=AC。或作△ABC的角平分线AD，证明△ABD≌△ACD（AAS），得AB=AC。

所规定的公理及已证明过的定理中没有“ASS”，“ASS”以前探索过的假命题，出现依据“ASS”证明，说明学生受前面知识干扰，思维误正不少。为此，教师可抓住这个机会，引导学生对“ASS”的真假性进行回顾，进而辨析“用假依据证明命题能确保命题证明的真实性吗？”这个问题。通过辨析让学生明确：依据“ASS”证明是错误的，依据推论“AAS”证明才正确，因为“AAS”已经证明过的真命题。

因为学生知识暂不系统，建立合理化体系后选择什么作为证明命题依据，学生是把握不准，常受以前探索过熟悉的命题的干扰，把没有证明过的命题或假命题等作为证明命题的依据。因此，教师应对学生多作指导，让学生领会选择证明依据的方法，使他们能正确选择证明依据，确保命题证明的真实性。

2、迅速确定证明思路。寻找证明思路是命题证明的重点，也是难点。证明命题时，学生对确定命题的证明思路常出现毫无头绪的现象，教学时不失时机地教给学生寻找证明思路的方法，让学生有章可循，有样可照，逐步掌握证明思路，能有效地提高证明命题的速度，提高学生推理论证能力。

a、掌握一般的寻找方法。确定命题的证明思路时，教师应根据命题的不同情况，让学生掌握一般的寻找方法。如：有的命题，教师可引导学生通过回顾探讨命题时使用的方法中确定；如果碰上许多互逆命题的证明思路类似时，教师可引导学生从原命题的证明思路中寻找；有的命题可以从以前探讨过的证明思路中确定。

例2：求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。        

这是《证明三》中的内容。转化为图形和数学语言表述如下：

已知：图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线。

求证：CD=AB

这个命题的证明不容易寻找。教师可先引导学生回顾命题

探索的过程。可得思路一。

    （一）延长CD到E，使CE=DE，连接EB、EA如图2，推得四边形ACBE是矩形，依据矩形的对角线互相平分且相等来证明这个命题。然后教师可以引导学生再回顾以前证明两条线段相等的所有证明思路，然后可得到思路二与思路三。

（二）取BC中点E，连接DE，如图3，推出DE是

BC的垂直平分线，依据垂直平分线的性质来证明这个定理。

（三）取BC中点E，连接DE，如图3，推出DE∥AC。

证明△CDE≌△BDE（SAS），得CD=BD，来证明这个命题。

这个命题证明思路不是唯一，方法多样。通过引导学生回顾

命题的探索过程，以前探讨过的各种思路中寻找不同的证明思路，能发挥学生的聪明才智，开阔学生的视野，培养学生的思维能力。

b、掌握特殊的证明思路。有些命题的证明思路特殊，按一般的方法寻找是找不到的。

例3，求证：如果三角形两边的平方和等于第二边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这是《证明》中的内容，转化为图形数语言表示如下：             A

已知：如图4，在△ABC中，AB2+AC2=BC2                       B

求证：△ABC是直角三角形。                              图4              C

寻找思路时，教师可引导学生探讨。问：能否构造一个与△ABC全等的直角三角形？怎要构造？从而得到下面的思路。

证明思路是：构造△DEF，其中∠D=90°，DE=AB，DF=AC，如图5，通过证△ABC≌△DEF（SSS），得∠A=∠D=90°来证明命题。这个命题的证明思路特殊，对学生而言，寻找这类命题的证明思路十分困难。教学时教师可引导学生进行探讨，让学生理解这种特殊的证明思路，

并要求学生牢记，以便掌握寻找证明思路的一些技巧。

3、加强辨析过程的训练。初中学生初步学习严格的证明及相关的符号化表示，出现问题在所难免，教师要重视，应加强辨析的过程训练。

a、训练推导能力。目的是培养学生证明出现牵强情形的识别能力。

例4，一组对边平行且相等的四边形是平行的四边形。这个内容是《证明三》中的内容。转化图形表述如下：已知如图6，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。

出现下面的错误：                                   

证明：连接AC

∵ AD ∠DAC=∠BCA, ∠DCA=∠BAC

又 ∵ △DAC≌△BCA（ASA）

   ∴ AB=CD

又 ∵ AD=BC

∴ 四边形ABCD是平行四边形。

错在∠DCA=∠BAC。此时，教师可引导学生讨论：由AD∥BC，能否找得到∠DCA=∠BAC？在什么情况下，∠DCA与∠BAC相等？通过分析，明确错误所在，这样就能加深学生对定理“两直平行，内错角相等”的理解。

b、应培养学生用规范的数学语言表示命题的能力。

例5，求证：在一个角的内部，且到角的两边距离的等的点，在这个角的平分线上。这是《证明二》中的内容。转化为图形和语言表示如下：                               E      A

已知：如图7，点P在∠AOB的内部，PE=PF。                                P

求证：点P在∠AOB的平分线上。                                            

错误在没有把PE与PF是点P到OA与OB的距            O                  F   B

离表述清楚。所以，教师在教学时，应认真引导辨析，

加强用规范的数学语言表示的能力。

综上所述，命题的教学过程，只要教师紧扣依据选择是否正确，思路寻找怎样才能迅速，对证明过程的强辨析，给学生教了方法，命题证明这一关就能达到过关的要求。