从鸟笼故事说开去

           江苏海安城东镇新生初级中学  吴光蕴

某日A君和B君打赌。A对B说：“如果我送给你一只精美的鸟笼，请你挂在客厅之中，那么你一定会买一只小鸟。”B君心想，买不买鸟得由我作主，于是爽快地同意了打赌，并约定不将打赌之事告知他人。第二天，A君果然买了一只非常漂亮的鸟笼送给B君，B君也真的将鸟笼挂在自家客厅的显眼之处。打赌结果如何？B君居然输给了A君。原来，自从B君家挂上鸟笼之后，来往宾客无一不向B君发问：“你的鸟什么时候死了？”B君立即回答：“我从未买过鸟。”“那么你挂这么高贵的鸟笼干什么？”客人愈加追问，B君每每语塞，而又不能透露打赌的秘密。后来，B君还是决定去买只小鸟放进笼中，因为他觉得这样做比反复向别人解释为什么空挂鸟笼要简单得多，而且向A君认输的心情也比别人背后怀疑自己头脑不正常要平顺一些。

很明显，人总是在自己的头脑中挂上“鸟笼”，认为笼中

必然要有一只小鸟。

在作钝角△ABC的AB边上的高，由于受生活中的

垂直影响，学生往往作成图1的情况。

这些都是思维定势效应。创新，就得克服思维定势。如何在数学教学中培养学生的创新意识和创新思维能力，以下是几点想法：

一、创造性教学的条件

（一）创造性教学的主客体

在以创新为魂的创新教育体系中，教师是最重要的主体因素，在实施创新教育的教学活动中，教师具有开启创造力的主导作用，是学生学习伙伴和引导者，必须具备很强的服务意识；学生是客体因素，是教师培养和教育的对象，但客体并不等于客观的“物体”，任意由主体塑造成什么样子就是什么样子，他们也具有能动性。主客体要以“对话”为基础，积极参与学习，使学生成为学习上的主人。

（二）创造性教学的环境

中国有句成语“近朱者赤，近墨者黑”，说的是环境对人成长的作用，大量的研究表明，良好的环境对学生创新能力的培养有重要的影响。人的思维活动不是凭空产生的，必须借助于某种环境因素的刺激作用。教师在教学过程中所创设的情境，正是引导学生进行创造性思维活动的重要条件。

1、回归话语权

新课标强调，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，应由居高临下的权威转向“平等中的首席”，把话语权交给学生，而且是大多数学生。因为，从心理学角度说：渴望被肯定是人的本质中最殷切的要求之一。让学生畅所欲言，感受到被尊重的愉悦，心理上会感到安全，认为自己是学习的主人，就会各抒己见。对学生提出的疑问，应答的问题，发表的意见，只要有点道理，教师都要给予肯定。海德格尔在《人，诗意地安居》写道：语言是人口开出的花果。学生的话是天籁之音。

2、找回自信心

学习上学生不知道答案的很少，大多数学生或多或少都知道一点，只是怕说不好，被同学、老师笑话，才不敢发言，教师要鼓励学生发表自己的见解，鼓励学生“相信老师，但我更相信自己”。

3、留思考余地

课堂上大多数学生很少有发言的机会，仅有的机会也往往被几个“优等生”所“垄断”，因此，在教学过程中，教师应给学生思考的时间。如果学生思维活动和思维结果越出了教师设计和所期望的轨道，教师不要强行扭转，更不应训斥、讽刺，而是给予纠正，让学生自己学会自我批判。如：在上人教版七下9.1《不等式》时，教师请学生自编一题不等式，并列式。

学生：我有3支笔。

教师：这是不等式吗？

学生：是。3>0.

教师：为什么要与0比较？

学生：因为他没有笔，没有可以表示为0.

教师：那他有3支笔（让学生思考），4支笔……（让学生思考）（学生能总结让学生说，不能总结则教师总结）

教师：不等式、等式考虑的是量与量之间的关系，所以“我有3支笔”列不等式是少条件的。

4、发挥主动性

培养创新能力必须充分发挥学生的主体作用，充分调动学生学习的积极性。当前相当多的学生在学习方法上强调死记硬背，忽视消化理解。在教学中，教师应准备一些有关的，具有趣味性、探索性、研究性、创造性的习题，以激发学生的求知欲望，改以往教师唱独角戏为师生之间的多向交流。教师还应利用初中学生的生理、心理特点，即处于青春期的学生都希望自己有所表现，比别人高明，见解“独特”，易争先抢答，让学生的积极性、深思求异性得到充分的调动。

二、创造性思维教学

创造性思维的主要特征是开放性、求异性、非显而易见性。在平时的教学中，以课本为本，充分挖掘教材中的创造性思维教学的素材，不失时机地培养学生的创造性思维能力。

1、联想、想象与构造

爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”教材中有不少通过联想、想象和构造，找到比较巧妙解决问题的方法，不是刻板的，而是具有很强的灵活性和创造性。如：如图2，∠AOB=450，其内部有一点P，OP=8，在∠AOB的两边上分别有点Q、R（不同于点O），则△PQR的周长的最小值为        

联想：把△PQR的三边放在一条直线上，利用两点之间线段最短。

想象：利用学生熟悉的题目为背景（如图3，在直线m上找一点P，使P到A、B两点的距离和最小，即作点A关于直线m的对称点A1，A1B与直线m的交点就是所求的点），想到作对称点。

构造：如图4，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连CD，与OA交于点Q，与OB交于点R.

分析：如图4，利用对称性可得OA是PC的中垂线，从而可得PQ=CQ，OC=OP=8，

∠COA=∠AOP，同理PR=DR，OD=OP=8，∠DOB=∠BOP，所以△PQR的周长=PQ+QR+DR=CD， 易证∠COD=900，在Rt△COD中，由勾股定理得，CD=，即△PQR的周长的最小值为.

在数学教学中，仔细观察，充分展开联想的翅膀，极大程度地提供想象空间，大胆构造新的对象，对探索未知问题开辟新的途径，有助于激发兴趣、良好思维习惯培养、创造性思维能力的开发，进而获得一种更有力度、充满张力的数学思考以及触及心灵的精神愉悦，从而达到数学学习的真正目的。

2、发散性思维

发散思维具有灵活性，对推广问题，引申知识，发现新方法等具有独特的作用。

（1）一题多解

     一题多解有利于开拓学生的思路。如：如图5，在△ABC中，∠ABC=450，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E点，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连DH与BE相交于点G，猜想CE与BG的大小关系，并证明你的结论。

学生1：由∠ABC=450，CD⊥AB知△BDC是等腰直角三角形，

又H是BC边的中点，得DH是BC的中垂线，所以连CG，

根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端点的距离相等

知BG=CG。所以在Rt△CGE中易得CE<CG.因此，CE<BG.

学生2：本题易证△ACD≌△FBD，点E是AC的中点，要比较CE与BG的大小，所以取BF的中点M，由，AC=BF，可得BM=CE，所以只要比较BM与BG的大小，就可完成CE与BG的大小比较。

学生3：本题易证△ACD≌△FBD，点E是AC的中点，AD=DF=DG，所以可连AG，可证得AG=BG，再在Rt△AGE比较AE与AG的大小，最后也可说明CE<BG.

由于它具有灵活性，对于同一道题，引导学生从多角度、多途径去分析、思考，从而寻找多种方法求解，可使学生对问题有更深层次的理解。

（2）一题多变

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论做进一步探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题从不同角度进行变式，在变化中分析、思考，从而达到将知识学活、学会学习的目的。如：已知函数y=(3-k)x-2k+18是一次函数，求k的取值范围。

设计意图：考查一次函数的定义：y=kx+b中k≠0.

变式一：k为何值时，一次函数y=(3-k)x-2k+18的图象经过原点；

设计意图：考查点与图象和点的坐标与函数解析式之间的对应关系：图象过原点等价于 x =0, y=0满足y=(3-k)x-2k+18．   

变式二：k为何值时，一次函数y=(3-k)x-2k+18的图象与y轴的交点在x轴的上方。

设计意图：考查一次函数的图象与x轴、y轴的交点问题，并能将文字语言翻译成数学语言：与y轴的交点在x轴的上方表示交点的纵坐标，即-2k+18（一般式中的b）大于0．

变式三：k为何值时, 一次函数y=(3-k)x-2k+18y随x的增大而减小(或：（a,b）(m,n)均在一次函数y=(3-k)x-2k+18图象上，且a<m,b>n,求k的取值范围)。

设计意图：考查一次函数的性质。

变式四：k为何值时，一次函数y=(3-k)x-2k+18图象经过一、二、四象限？

设计意图：学习一次函数的最重要方法是数形结合．结合图象，将问题转化为解关于k的不等式组。

变式五：k为何值时，一次函数y=(3-k)x-2k+18图象平行于直线y=-x；

设计意图：考查决定两条直线位置关系的因素，这里只涉及简单的情形：两条直线平行等价于3-k =-1（即一般式中的k相等）。

变式六：直线y1=(3-k)x-2k+18与直线y2=2x+12交于点P(-1，a)．

(1)求k的值； (2)x为何值时, y1〉y2； (3)求直线y=(3-k)x-2k+18、直线y=2x+12与x轴围成的三角形的面积。

设计意图：（1）交点的意义：点P(-1，a)同时满足y=(3-k)x-2k+18与直线=2x+12，从而求得a，k；（2）解决第二问时有多种方法：解不等式，数形结合；（3）第三问需要借助图象明确所求的图形，弄清点的坐标与线段长的关系（这是学生的易错点，补充强化练习：如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，求k的值）。

抓住数学习题中本质的关系，巧妙变题，这样能激发学生主动探索的欲望与能力。

（3）一题多图

平面几何中有许多问题，同一种叙述，能画出不同的图形，相应的解法和结果往往也各不相同。如：在△ABC中，与∠A相邻的外角是1100，要使△ABC是等腰三角形，则∠B=        

图6：∠A、∠B是底角，

图7：∠A是底角，∠B是顶角，

图8：∠A是顶角，∠B是底角。

对于同一道题，符合题意的图形有时不止一种，需要分类讨论。在教学中要启发学生尽可能地画出符合题意的图形，这样可培养学生认真审题，思维严谨的习惯。

(4) 一题多问

一题多问，就是相同条件，让学生通过联想，提出不同问题，以促进思维的灵活性。如：如图9，点A、B、C三点共线，△ABC、

△CDE都是等边三角形，连AD，BE.

求证：AD＝BE.

你还能找出其它的结论吗？

学生1：BG=AH，学生2：EG=DH，学生3：CG=CH，学生4：等边△CGH，学生5：GH∥BD……

在教学中，要学生尽可能多地提问，充分挖掘习题的潜力，培养学生的自主探索能力。   

（5）举一反三

从特殊类推，解决一般性问题。如：已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D为AB边的中点，∠EDF=900，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图10），易证，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图8和图9这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

结论：图11成立；图12不成立。、、的关系是：

分析：如图13，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，

则∠DME=∠DNF=∠MDN=900

再证∠MDE=∠NDF，DM=DN，有△DME≌△DNF，

所以，即可得

.由已知可得 ，所以.

    对知识点的深切理解，就能触类旁通。

培养发散性思维，必须把握一个“度”，要防止“胡思”、“瞎想”，通过多角度的变化，促使学生的思考由表及里，由浅入深，直至真正理解概念并训练学生的思维。

3、逆向思维的培养与训练

逆向思维是相对正向思维而言的。逆向思维的本质特征是同事物常理相逆，它是创造性中最活跃的成分之一。

如：计算 

分析：由积的乘方公式，运用积的乘方的逆运算，可得

运用逆向思维时，首先要明确问题求解的传统思路，然后从这相对的反面去思考问题，以求得新的解决问题的方法。

4、横向思维的培养与训练

横向思维是指利用逻辑推理直上直下思考受阻时，大脑急转弯所产生的一种思维方式。它是利用局外信息来发现解决问题的。历史上就有曹冲称象的故事。如：如图14，一个棱长为4cm的立方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个棱长为1cm的小立方体，求表面积。

分析：本题解法不一，我们可以从一般解法和巧妙解法

两个方面入手。

一般解法：按一般推理，先求出大立方体一个面的面积

4×4=16（cm2），再减去边长为1cm的小正方形的面积得16-1=15（cm2），最后加上棱长为1cm的无盖小立方体的表面积1×1×5=5（cm2），就求出大立方体的一个面的面积是15+5=20（cm2），即得所求的表面积为20×6=120（cm2）。

巧妙解法： 在大立方体的中心挖去一个棱长为1cm的小立方体时，大立方体没有挖穿，所以小立方体底部的面积抵消了表面损失的1 cm2的面积，而且每挖一个小立方体只在原来大立方体六个面的基础上增加四个侧面，增加的面积是4 cm2。挖六个这样的小立方体共增加面积：4×6＝24（cm2），再加上大立方体的表面积4×4×6=96（cm2），得到所求的表面积为24+96=120（cm2）。

在数学教学中，有的平面几何图形的面积计算，就可不按常规直接解决问题，而是转换成侧面问题来思考。

哲学家弗兰西斯.培根指出“知识就是力量”， 创新离不开知识的支持，但只有具有创新能力，只有与能力、素质相结合的知识才能适应创新的时代。数学教师就要在数学教学中培养学生的创新意识和创新思维能力，激活学生的创造潜能，最终使他们能达到灵活创造的境界。