新课标下应对初中数学教与学的几点看法
永嘉县桥头镇中学 张 骁
传统课本的教与学往往根据形式逻辑演绎的步骤来考虑问题，学生必须按照设计好的“标准”写好推理过程，相比之下新课标的教与学侧重于让学生自由发挥的空间，真正成为学习的主人。以下是本人关于新课标下初中数学教与学过程中的几点看法。
一、按题意要求作非形式化解答
以学生为本的课堂教学的主要活动方式是让学习者有可能从个人实际需要展开学习活动，笔者试举一例。
问题一：如图1所示，当把一个“瘦长”的圆柱（圆条钢）锻压成一个“矮
胖”的圆柱（圆钢饼）时，它的体积将会怎么样变化？它的表面积将会怎么样变化？不作任何计算，写下你的想法。
锻压前后体积不变，这是不需要任何计算的，但表面积将会怎样变化？一般
地解法都是通过计算得到的，而本题明确要求：“不作任何计算，写下你的想法。”
则是说你不要回到形式化推演的老路子上去了。你可以推测，你可以猜想，你可
以写下你的任何想法，这就是非形式化要求。教师应该逐渐按新课标减少教学中
的统一要求，逐渐加大学生的自主学习权和为他们提供更多的机会，并在学生自
主学习的过程中加强指导，提供帮助，从而在统一计划与自主学习的结合中实现学习者有差异的主动发展，并使学生学会自主学习的方式、方法。
二、关注阅读、理解、判断、解释、说明的每一过程
教学大纲中明确指出要培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言的能力。透彻理解文本中的内容，认真总结解题的规律方法，是学好数学的重要环节。
问题二 如图2，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的
一点，AF=
AB。
1）求证：△ABE≌△ADF；
2)阅读下面材料：
如图3,把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置。
如图4,以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置。
如图5，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。
像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法
变成的。这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换。
回答下列问题：
①在图2中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变
到△ADF的位置？
②指出图2中线段BE与DF之间的关系。
这是一道颇有特色的中考题，在常规性的三角形全等证明后，它首先结合图
形给出三角形全等变换的概念，学生必须理解这个概念的本质性含义，再根据这
个概念解答①、②两个问题。其过程是一个阅读、理解、判断、说明的过程，并
且在考试（评估）过程中，这些思考完全是内隐的，但这并不妨碍解题者内在的自我解释与说明。这类试题可以从某一方面综合考查学生的阅读理解能力，分析推理能力，文字概括能力，书面表达能力，随机应变能力，归纳小结能力、发挥探索能力和数学思想方法的运用能力。不过，从另一角度看，如果把这道题用于交互式的教学过程中可取得更好的效果。
三、加强对探索性问题的训练
探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切科学领域中，在数学中则更为普遍。初中数学中的“探索发现”型题目，是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需经过推断、补充并加以证明的命题。
问题三 纸张的开数。
1)给每位同学发一张8开的白纸，然后，叫学生沿纸的长边对折成16开的
纸，再将16开的纸折成32开纸，通过测量和计算回答下列问题：
(a) 8开的纸和16开的纸的形状相似吗？
(b) 16开纸和32开纸的形状相似吗？
(c)猜想：如果将纸的对折操作继续进行下去，那么得到的16开、32开、64
开、……、2k开(k为自然数）纸都相似吗？
2)要使一个矩形纸沿长边对折后仍同原来纸的形状相似，那么该纸的长和宽
之比为多少？
3)翻开你手中教材的第一页或最后一页，找出纸张的开数，如“开本787 ×
1092 1/16”或“开本850×1168 1/32”，计算纸的长和宽之比。试问：
(a)纸的长和宽之比是否同1.414很接近？并解释误差的原因。
(b)试讨论，如此设计纸张大小的好处是什么？进而，造纸厂生产纸时，如
何设计的大小为最优？
上例教学中观察学生利用操作（折纸）来发现关系（相似），猜想结论，作出验证。教师只用数值成绩是很难描述学生怎样获得不同数学概念之间的关系，要了解学生怎样解决一个问题及其遇到的困难，应拓宽数学评估观点。在教学实践中应鼓励学生利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理。
四、认可学生多元化的说理与表述
问题四 某位老师在讲“实数”时，画一个图（如图6），即“以数轴的单位长线段作一个正方形，然后以0为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交X轴于一点A”，作这样的图是用来说明________。
参考答案：
1)数轴上的点不仅可以表示有理数，也可以表示无理数。
2)每个无理数都可以用数轴上的点表示。
3)实数和数轴上的点有一一对应的。
4)可以运用几何作图的办法在数轴上表示某些无理数。
5)用作图方法在数轴上表示
。
6)
的作图方法。
7)无理数的几何意义。
8)利用数与形的联系来研究和解决问题。
学生作出以上的回答(即便是一部分)有没有价值？这主要是用一个什么样的教育观看待的问题。“‘要么你知道要么就不知道’，‘答案要么是对要么是错’；‘你必须记住规范的事实和程序’”，等等——都强调数学的确定性，强调数学没有歧义，从而使数学学习内容变得单调乏味。在教学过程用这样观点来评估非形式化问题的探究，必然会遇到很多困难，从问题四所给的8个参考答案中可以看出，教师要认可学生多元化的说理与表述，因为问题本身就不存在一个最佳的答案。
五、按照新课标的考查要适应学生数学能力水平
现在不少教学一线的教师已注意到采用新课标的要求考查，特别注意到数学思想方法的考查，应该说是一个可喜的现象，值得提倡。数学思想方法(包括解题方法)是有层次要求的，并不是只要学生看懂题目，就一定能够归纳总结出来的，以下面这道2000年某地的中考题为例，略加剖析。
问题六 阅读下列材料
解答问题：
1) 在和式
＋
＋
＋…中，第五项为 ，第n项为 ，上述求和的想法是：通过逆用 法则，将和式中各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 ，从而达到求和的目的。
2) 解方程：
2) x=4。
本题首先要求学生通过阅读材料读数列的拆项法。即把数列的每一项拆为二项之差的形式，以达相消的目的。进而在理解、掌握的基础上，运用此方法去解无理方程，从而考查学生的自学能力，
作为一线教师的课改实践者，如何从传统课堂的“框架”中走出来，让学生在课堂上有更多的机会表现自己所学到的知识技能和情感态度等，是当前教学过程中的一个突出问题，当然，这样的课堂，教师最需要做的事情不是讲解与提问，而是“创设让每一个学生都有一种心理期待，心理安全，心理自由和心理满足的学习条件和氛围。”
【参考文献】
［1］王磊、王贵宾等主编《数学新题型演练》，北方妇女儿童出版社，2001年。
［2］张奠宙、戴再平主编，《中学数学问题集》，上海华东师范大学出版社，1996年。
［3］《人民教育》编辑部编著《新课程优秀教学设计与案例·初中数学卷》，海南出版社，2003年。
