李定明
“数”与“形”是数学研究的两大支柱，它们之间存在着既对立又统一的关系。辩证地以数表形和以形示数是探索和解决数学问题的重要途径。忽视任何一面都将数学变得残缺不全。“数缺形时少直观，形少数时难入微”这正是我国数学家华罗庚对“数”与“形”的关系的最形象的概括。
“数形结合”其实质就是把数学语言与直观图形结合起来，既把代数中的精确刻画与几何图形中的直观描述结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，进而使抽象思维与形象思维结合起来，这样可以使许多复杂问题简单化。如高中数学的解析几何就是通过坐标系把“数”与“形”进行转换，是数形结合的最成功、经典的例子。当然新课标下的“向量”也是数形结合的新“桥梁”。
我们熟知，“数形结合”作为我们解决数学问题的重要方法之一。在解决有关代数问题时，可寻找揭示内部的内体背景，启发思维，找到解题途径；在解决几何问题时也可从代数的角度，通过数量关系的研究来解决问题。运用“数形结合”这个思想方法应注意那些问题呢？
一、优先考虑图形的直观性。
例：方程2-x+x2=3的实数解的个数为 。
解析：如图，在同一坐标系内分别画出y=2-x和y=-x2+3的图象
由图可知，两函数图象有两个交点，即方程2-x+x2=3有两个根。
此题如果只考虑一般的代数方法求方程的方法来求是不适宜的，
甚至得不出正确的结果。
二、充分注意图形的完备性。
应用“数形结合”解题时要养成良好的习惯，善于从图中观察，找出规律，寻找答案，但有些数学问题用图形来反映时并不唯一，因此需要我们在解题时作出不同的图形，用“数形结合”与分类讨论的思想解决，以防出现解题的片面性。
例：已知A、B、C是椭圆M： + =1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为（2 ，0），直线BC过椭圆M的中心，且
·
=0，｜
｜=2｜
｜。
⑴求椭圆M的方程。
⑵过点M（0，t）的直线L（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且｜｜=｜
｜，求实数t的取值范围。
分析：此题如果不考虑“数形结合”，只对题目本身分析很难找到解题思路，况且第⑵小节明显还应对k作分类讨论，那么分类的分界点在那，分多少类就成了关键，而“形”会给我们很好的回答。这就是解题的完备性。
略解：⑴｜｜=2｜
｜，且直线BC过（0，0）
则｜｜=
｜，又∵
·
=0，∴∠OCA=90°，
即C（，
）又a=2 ，因此可设M： + =1，
将C点坐标代入得：
+ =1，解得C2=8，b2=4 ∴椭圆M： + =1，
⑵ 由条件D（0。—2），M（0，t）
1°：当k=0时，显然-2＜t＜2 .
2°：当k≠0时，设L：y=kx+t .由
消去y得：（1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0
由△＞0可得，t＜4+12k2
设P（x1,y1), Q(x2y2), PQ中点H（x0, y0)则
x0= = ,y0=kx0+t= ,
∴H(- , ),由｜｜=｜
｜，
∴DH⊥PQ即KDH= — ,∴( +2)÷(— ) =—
化简得：t=t+3k2 ②∴t＞1,将②代入①得：1＜t＜4,∴t的范围是（1，4），
∴综上10、20得t∈（-2，4）。
三、适时运用数式的精确性。
“形象直观”是“形”的优点，但这“优点”不能代替数学问题的正确答案。只在通过对“形”的分析，挖掘代数中的数量关系，把几何问题再转化为代数问题，结合“数”的精确运算，才能求出正解。这就是“精确性”。
例：若x∈(1, 2 )时，不等式（(x-1)2＜logα x恒成立，
则α的取值范围为（ ）。
A.(0, 1) B.(1, 2) C. (1, 2) D.(1, 2)
解析：令y1=(x-1)2, y2=logα x, α＞1,
两函数图象如图所示，显然当x∈(1, 2 )时，
要使 y1＜y2 ， 只需使logα2≥(2-1)2 , 即α≤2，
综上可知当1＜α≤2时，
不等式(x-1)2＜logα x对x∈(1, 2 ) 恒成立.
若0＜α＜1, 两函数图象如下图所示,显然当x∈(1, 2 )时,不等式 (x-1)2＜logαx恒不成立.
可见应选C。
四、时刻关注转化的等价性。
“形”可揭示“数”的本质，“数”可解决“形”的精确性，应用时要注意转化的等价性。
例：曲线y=1+ (x∈[ -2,2 ])与直线y=k(x-2)+4有两个公共点，k的取值范围是（ ）
A、（0， ） B、（ , ） C、（ ，+∞ ） D、（ ， ）
分析：事实上不难看出，曲线方程y=1+ (x∈[-2, 2]的图象为x2+(y-1)2=4(-2≤x≤2, 1≤y≤3)，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆（含半圆端点），直线y=k(x-2)+4过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了。
略解：将方程y=1+ ( (x∈[-2, 2] )转化为方程
x2+(y-1)2)=4 (-2≤x≤2, 1≤y≤3),作出对应的图形，
如图，又直线y=k(x-2)+4过定点（2，4）
若直线过点A（-2，1），则可求KPA=
由圆心（0，1）到直线的距离为2，所以有2= 解得 k= ，故选D。
五、灵活把握数与形的互动性。
解题时应根据数学问题的条件和结论等之间的内在联系，通过研究其数字特征和几何特征，使数量关系和空间形式有机地结合起来，从而找到解决问题的途径和方法。
例：如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD
⑴求线段PD的长；
⑵若PC= R，求三棱锥P-ABC的体积。（2008年，广东高考题）
分析：此题巧妙地把立体几何与平面几何知识结合在一起，充分体现了“数形结合”的思想方法的“互动”运用：在证明线面垂直时，即寻找证明直线PD⊥面ABCD的条件时，又要根据PD、CD、PC之间的数量关系，即由：PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2，故由勾股定理可得△PCD为Rt△pcd 从而证得PD⊥CD。
略解：⑴∵BD是圆的直径，
∴∠BAD=90°，又△ADP∽△BAD，
∴ =
DP= = = =3R
⑵在Rt△BCD中，CD=BD， cos45°= R
∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2， ∴PD⊥CD，
又∠PDA=90°，即PD⊥AD，AD∩CD=D
∴PD⊥底面ABCD，S△ABC= AB · BC · sin (60°+45°)
= R · R（ × + × ）
= R2
∴三棱椎P-ABC的体积为VP-ABC — S△ABC · PD= · · R2 ·3R= R3
“数形结合”思想方法在高中数学甚至是在高考中占有非常重要的地位.如果能随时注意以上五点,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍效果.
(作者单位:广东省五华县水寨中学)
